I LOVE MYSELF (..:Setia Widia A:..): Barisan Cauchy

Secara sederhana, barisan Cauchy adalah suatu barisan semakin lama jarak antara suku-sukunya semakin kecil. Secara formal didefinisikan sebgai berikut

Definsi: Suatu barisan $X=\left(x_{n}\right)$ didalam bilangan real dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap $\epsilon >0$ terdapat bilangn asli $k_\epsilon$ sedemikan hingga untuk setiap bilangan asli $n,m>k_{\epsilon}$ berlaku $\left|x_{n}-x_{m}\right|<\epsilon$

Jadi suatu barisan dikatakan barisan Cauchy jika setelah suku ke- $k_\epsilon$ maka jarak suku yang satu dengan yang lainnya akan selalu kurang dari $\epsilon$ . Bagaimana menentukan $k_\epsilon$ ? Itu tergantung dari nilai $\epsilon$ yang kita pilih.

Contoh: Buktikan barisan $\left(1/n\right)$ merupakan barisan Cauchy

Ambil sebarang bilangan real $\epsilon >0$ , nah kita harus mencari bilangan asli $k_\epsilon$ sehingga untuk sebarang bilanga asli $n,m>k_{\epsilon}$ berlaku $\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\epsilon$

Ambil saja $k_{\epsilon}>2/\epsilon$ . Jika $n,m>k_{\epsilon}$ maka $\frac{1}{n}<\frac{1}{k_{\epsilon}}$ dan $\frac{1}{m}<\frac{1}{k_{\epsilon}}$ . Diperoleh

$\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|<\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\frac{2}{k_{_{\epsilon}}}<\epsilon$

Sifat-Sifat barisan Cauchy:

Setiap barisan cauchy terbatas
Sutu barisan adalah konvergen jika hanya jika merupakan barisan Cuchy.

Dari sifat 2, kita mengetahui satu hal: Jika suatu barisan konvergen ke L maka semakin mendekati L jarak antra suku-sukunya akan semakin kecil.

I LOVE MYSELF (..:Setia Widia A:..)

Laman

Selasa, 03 Juli 2012

Barisan Cauchy

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Label

Arsip Blog

Note :